解説

$n$ を無限大に近づけたときの近似の話であることをご了承ください．

最大の能力をもつ秘書を採用できる確率を $P(k)$ とする．$i$ 番目に最大の能力をもつ秘書がいるとする．

(ⅰ) $i \leqq k$ のとき，最大の能力をもつ秘書を採用できる確率は $0$．

(ⅱ) $k+1 \leqq i \leqq n$ のとき

$i$ 番目に最大の能力をもつ秘書がいる確率は $\dfrac{1}{n}$．そして最初から $i-1$ 番目までの候補者の中で，様子見した $k$ 人の中に最大の候補者がいる確率は $\dfrac{k}{i-1}$．

以上より

　$P(k)$

$\displaystyle =\sum_{i=k+1}^{n}\dfrac{1}{n}\cdot \dfrac{k}{i-1}$

$\displaystyle =\dfrac{k}{n}\sum_{i=k+1}^{n}\dfrac{1}{i-1}$

$\displaystyle =\dfrac{k}{n}\left(\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2}+\cdots+\dfrac{1}{n-1}\right)$

$\displaystyle =\dfrac{k}{n}\sum_{j=k}^{n-1}\dfrac{1}{j}$

$k$ は $n$ に依存する値(この問いは $n$ と $k$ の比が問題なので)，$n$ が十分大きいとき $k$ もそれに応じて大きくなるが，$n \to \infty$ において

$\displaystyle \sum_{j=k}^{n-1}\dfrac{1}{j}\fallingdotseq \sum_{j=k}^{n}\dfrac{1}{j} \to \log\dfrac{n}{k}$

となることを認めると

$\displaystyle P(k) \to \dfrac{k}{n}\log\dfrac{n}{k}=\dfrac{\log\dfrac{n}{k}}{\dfrac{n}{k}}$

と近似できる．$x=\dfrac{n}{k}$ として $f(x)=\dfrac{\log x}{x}$ のグラフを考えると(極大値，極小値の定義の練習問題(1)にこの関数があります)，$x=\dfrac{n}{k}=e$ のとき，極大値かつ最大値 $\dfrac{1}{e}$ を取ることがわかります．つまり，$k=\dfrac{n}{e}$ のとき，最大の能力をもつ秘書を採用できる確率が最大．

※ 本来 $\displaystyle P(k)=\dfrac{k}{n}\sum_{j=k}^{n-1}\dfrac{1}{j}$ を数列の最大・最小の考え方で最大となる $k$ を求めるべきですが，簡潔な解を求めることが困難なようです．

※ $n \to \infty$ において $\displaystyle \sum_{j=k}^{n}\dfrac{1}{j} \to \log\dfrac{n}{k}$ となることはグラフで考察するとわかりやすいです．