連続自然数積の和
数学ⅡB既習者(難関大対策) ★★★
連続自然数(整数)積の和について扱います．
意欲的な難関大志望者は知っておくことをオススメします．
連続自然数積の和
連続自然数積の和
$\displaystyle \boldsymbol{\sum_{k=1}^{n}k(k+1)=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)}$
$\displaystyle \boldsymbol{\sum_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)=\frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)}$
$\displaystyle \boldsymbol{\sum_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)(k+3)=\frac{1}{5}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$
$\vdots$
$\displaystyle \boldsymbol{\sum_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)\cdots(k+m)=\frac{1}{m+2}n(n+1)(n+2)(n+3)\cdots(n+m+1)}$
※ $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)$ は連続自然数積の和ではありませんが，同じ規則に従っています．
1番下の行の証明
1番下の行を証明すれば十分です．差の形を比較します．
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\{k(k+1)(k+2)\cdots(k+m+1)-(k-1)k(k+1)\cdots(k+m)\}$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)\cdots(k+m+1)-\sum_{k=1}^{n}(k-1)k(k+1)\cdots(k+m)$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)\cdots(k+m+1)-\sum_{k=1}^{n-1}k(k+1)(k+2)\cdots(k+m+1)$
$=n(n+1)(n+2)\cdots(n+m+1) \ \cdots$ ①
一方で
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\{k(k+1)(k+2)\cdots(k+m+1)-(k-1)k(k+1)\cdots(k+m)\}$
$=(m+2)\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)\cdots(k+m) \ \cdots$ ②
① $=$ ②より
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)\cdots(k+m)=\frac{1}{m+2}n(n+1)(n+2)(n+3)\cdots(n+m+1)$
連続自然数の個数が1つ増えるたび，右辺の分母が1つ大きくなり，かける項も増えるので覚えやすいです．
証明も差の形を作るだけなのでわかりやすいですし，証明すれば堂々と使えます．
入試の答案における使用の解釈
入試や模試の記述式の答案として使うのはやはり減点リスクがありますが，答えのみやマーク式で使うといいと思います．
例題と練習問題
例題
例題
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)$ を求めよ．
講義
普通の記述式のシグマ計算の問題を想定します．つまり今回はいきなり上の式を書いてはいけないとし，上の式を証明します．
解答
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\{k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)\}$
$=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)(k+3)-\sum_{k=1}^{n}(k-1)k(k+1)(k+2)$
$=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)(k+3)-\sum_{k=1}^{n-1}k(k+1)(k+2)(k+3)$
$=n(n+1)(n+2)(n+3) \ \cdots$ ①
一方で
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\{k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)\}$
$=4\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2) \ \cdots$ ②
① $=$ ②より
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)=\boldsymbol{\frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)}$
※ 慣れていれば普通にシグマ公式を使うより速いでしょうか．
練習問題
練習
$x$，$y$，$z$ は $0$ 以上の整数とする．$x+y+z \leqq 9$ を満たす $x$，$y$，$z$ の組の総数は (ア) ．
練習の解答 出典：2016北里大医学部
重複組合せの考え方を使います．リンク先の練習問題に同一問題があります．
$n(x+y+z \leqq 9)$
$\displaystyle =\sum_{k=0}^{9}n(x+y+z=k)$
$\displaystyle =\sum_{k=0}^{9}\dfrac{(k+2)!}{k!2!}$ ←$k$ 個の区別がつかないボールを3人に配る重複組合せ
$\displaystyle =\sum_{k=0}^{9}$$ _{k+2}$$\rm C$$_{2}$
$\displaystyle =\sum_{k=0}^{9}\dfrac{1}{2}(k+1)(k+2)$
$\displaystyle =\dfrac{1}{2}\sum_{k=1}^{10}k(k+1)$
$\displaystyle =\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3} \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12$ ←連続自然数積の和
$=\boldsymbol{220}$
別解
$n(x+y+z \leqq 9)$
$=n(x+y+z+w=9)$
$=\dfrac{12!}{9!3!}$ ←$9$ 個の区別がつかないボールを4人に配る重複組合せ
$=\boldsymbol{220}$