順序が定まった順列
場合の数(入試の標準) ★★
順序が定まった順列を扱います.
同じものを含む順列が既習であることが前提です.
順序が定まった順列
父親,母親,太郎,次郎,三郎を $1$ 列に並べるとします.さらにこの内の子供 $3$ 人が太郎,次郎,三郎の順に並ぶ場合は何通りか考えます.
並べた例として
母太次父三
太父次三母
などがあります.太郎,次郎,三郎だけで見ると常にこの順なので,重要なのは彼らが入る場所を確保することだけです.そこで,太郎,次郎,三郎を一旦□として並べ,後から太郎,次郎,三郎をこの順で入れていきます.
つまり,父,母,□,□,□の同じものを含む順列で並べ,□に左から順に太郎,次郎,三郎を並べるのは $1$ 通り.求める順列の総数は
$\dfrac{5!}{1!1!3!}\times 1=20$ (通り)
です.
以下に方針をまとめます.
順序が定まった順列
順序が定まったものは□に変換し,同じものを含む順列の考えで並べ,後から□にその順に並べる.
例題と練習問題
例題
例題
(1) $\rm W$,$\rm A$,$\rm S$,$\rm E$,$\rm D$,$\rm A$ を $1$ 列に並べるとき,$\rm W$,$\rm S$,$\rm D$ がこの順に並ぶのは何通りか.
(2) 松子,竹子,梅子,太郎,次郎,三郎の $6$ 人を $1$ 列に並べるとき,松子,竹子,梅子がこの順に,太郎,次郎,三郎がこの順に並ぶのは何通りか.
講義
順序が定まったものは□等に変換して並べます.
解答
(1)
$\rm W$,$\rm S$,$\rm D$ を□とする.□,□,□,$\rm A$,$\rm E$,$\rm A$ を $1$ 列に並べる.左から順に $\rm W$,$\rm S$,$\rm D$ を並べるのは $1$ 通り.求める総数は
$\dfrac{6!}{3!2!1!}\times 1=\boldsymbol{60(通り)}$
(2)
松子,竹子,梅子を□とする.太郎,次郎,三郎を△とする.□,□,□,△,△,△ を $1$ 列に並べる.左から順にそれぞれ松子,竹子,梅子,そして太郎,次郎,三郎と並べるのは $1$ 通り.求める総数は
$\dfrac{6!}{3!3!}\times 1=\boldsymbol{20(通り)}$
練習問題
練習
$\rm I$,$\rm K$,$\rm E$,$\rm B$,$\rm U$,$\rm K$,$\rm U$,$\rm R$,$\rm O$ を $1$ 列に並べるとき次のものは何通りか.
(1) 条件なし.
(2) $\rm I$,$\rm E$,$\rm U$,$\rm U$,$\rm O$ がこの順に並ぶ.
(3) $\rm I$,$\rm E$,$\rm U$,$\rm U$,$\rm O$ がこの順に並び,$\rm K$,$\rm B$,$\rm K$,$\rm R$ がこの順に並ぶ.
解答
(1)
$\dfrac{9!}{2!2!}=\boldsymbol{90720(通り)}$
(2) $\rm I$,$\rm E$,$\rm U$,$\rm U$,$\rm O$ を□とする.□,□,□,□,□,$\rm K$,$\rm B$,$\rm K$,$\rm R$ を $1$ 列に並べる.左から順に $\rm I$,$\rm E$,$\rm U$,$\rm U$,$\rm O$ を並べるのは $1$ 通り.求める総数は
$\dfrac{9!}{5!2!}\times 1=\boldsymbol{1512(通り)}$
(3) $\rm I$,$\rm E$,$\rm U$,$\rm U$,$\rm O$ を□,$\rm K$,$\rm B$,$\rm K$,$\rm R$ を△とする.□,□,□,□,□,△,△,△,△ を $1$ 列に並べる.左から順に $\rm I$,$\rm E$,$\rm U$,$\rm U$,$\rm O$,そして $\rm K$,$\rm B$,$\rm K$,$\rm R$ を並べるのは $1$ 通り.求める総数は
$\dfrac{9!}{5!4!}\times 1=\boldsymbol{126(通り)}$