定積分で表された関数の微分

積分(数学Ⅱ，Ⅲ)(教科書範囲)　★★

数学Ⅱ，数学Ⅲ共通ページです．

定積分で表された関数の微分について扱います．

数学Ⅱは基本的に多項式関数を，数学Ⅲはすべての関数，また積分範囲も多様なものを扱います．

定積分で表された関数の微分(数学Ⅱ)

$\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x}(t^{2}-t)\,dt$　$\cdots$ ①

上の関数で $f'(x)$ を求めたいとき，$f(x)$ の正体を積分計算して出してから微分してもいいですが，わざわざ積分して微分するのは面倒な感じがします．

一般に

$\displaystyle f(x)=\int_{a}^{x}g(t)\,dt$

として，$g(x)$ の原始関数の1つを $G(x)$ とすると

$\displaystyle f(x)=\int_{a}^{x}g(t)\,dt=G(x)-G(a)$

と表記できるので，$x$ で最左辺と最右辺を微分すると

$\displaystyle f'(x)=g(x)-0=g(x)$

となります．つまり①の場合，$f'(x)=x^{2}-x$ となります．

定積分で表された関数の微分の求め方

積分の中身を $\boldsymbol{g(t)}$ 等とおき，原始関数で表現してから微分する．

$\begin{align*}f(x)&= \int_{a}^{x} g(t)\,dt \\ &= G(x) - G(a) \end{align*}$

↓ $x$ で微分

$\boldsymbol{f'(x)=g(x)}$

定積分で表された関数の微分(数学Ⅲ)

数学Ⅲの場合は，定積分の下端と上端がより複雑な関数になっていることがあります．合成関数の微分が既習なので以下のような定積分で表された関数の微分が要求されます．

定積分で表された関数の微分の求め方

積分の中身を $\boldsymbol{g(t)}$ 等とおき，原始関数で表現してから微分する．

$\begin{align*}f(x)&= \int_{l(x)}^{u(x)} g(t)\,dt \\ &= G(u(x)) - G(l(x)) \end{align*}$

↓ $x$ で微分

$\boldsymbol{f'(x)=g(u(x))u'(x)-g(l(x))l'(x)}$

※ 積分の下端 $l(x)$ は英語の lower limit，上端 $u(x)$ はupper limit が由来です．

例題と練習問題(数学Ⅱ)

例題

次の関数を微分せよ．

$\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x}(t^{2}-t+3)\,dt$

講義

$\displaystyle g(t)=t^{2}-t+3$ などとおき，原始関数の1つを $G(t)$ とする．

解答

$\displaystyle g(t)=t^{2}-t+3$ とおき，原始関数の1つを $G(t)$ とすると

$\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x}g(t)\,dt=G(x)-G(1)$

両辺微分すると

$\displaystyle \boldsymbol{f'(x)}=g(x)-0\boldsymbol{=x^{2}-x+3}$

※ 最初から $f'(x)=x^{2}-x+3$ としてもOKです．しかし次の章の数Ⅲの場合に上のような癖があると安全です．

※ $G(1)$ は定数なので $x$ で微分すると $0$ になりますね．

練習問題

練習

次の関数の最小をとる $x$ の値を求めよ．

$\displaystyle f(x)=\int_{-1}^{x}(t-2)\,dt$

練習の解答

$\displaystyle g(t)=t-2$ とおき，原始関数の1つを $G(t)$ とすると

$\displaystyle f(x)=\int_{-1}^{x}g(t)\,dt=G(x)-G(-1)$

両辺微分すると

$\displaystyle f'(x)=g(x)-0=x-2$

増減表は


$x$	$\cdots$	$2$	$\cdots$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	↘︎	$f(2)$	↗︎

$\boldsymbol{x=2}$ のとき最小をとる．

※ 積分して2次関数にしてもいいですが，導関数がすぐわかるので最小をとる $x$ の値だけなら増減表からすぐわかります．

例題と練習問題(数学Ⅲ)

例題

次の関数を微分せよ．

(1) $\displaystyle f(x)=\int_{\pi}^{x}(x-t)\cos t\,dt$

(2) $\displaystyle f(x)=\int_{2x}^{x^{2}}te^{t}\,dt$

講義

(1)は積分の中身が，関数の主役である $x$ と積分の主役である $t$ が混在しているので注意です．$x$ を積分の外にはじき出してから微分します．(2)は定積分で表された関数の微分の求め方にあるように $\displaystyle g(t)=te^{t}$ などとおき，原始関数の1つである $G(t)$ を利用するとわかりやすいです．

解答

(1)

　$\displaystyle f(x)$

$\displaystyle =\int_{\pi}^{x}(x-t)\cos t\,dt$

$\displaystyle =x\int_{\pi}^{x}\cos t\,dt-\int_{\pi}^{x}t\cos t\,dt$

　$f'(x)$

$\displaystyle =(x)'\int_{\pi}^{x}\cos t\,dt+x\left(\int_{\pi}^{x}\cos t\,dt\right)'-\left(\int_{\pi}^{x}t\cos t\,dt\right)'$

$\displaystyle =\int_{\pi}^{x}\cos t\,dt+x\cos x-x\cos x$

$\displaystyle =\Bigl[\sin t\Bigr]_{\pi}^{x}$

$\displaystyle =\boldsymbol{\sin x}$

※ $\displaystyle x\int_{\pi}^{x}\cos t\,dt$ は ( $x$ の関数)×( $x$ の関数)になるので，微分をするときは積の微分公式を適用します．

(2)

$\displaystyle g(t)=te^{t}$ とおき，原始関数の1つを $G(t)$ とすると

$\displaystyle f(x)=\int_{2x}^{x^2}g(t)\,dt=G(x^2)-G(2x)$

両辺微分すると

$\displaystyle \boldsymbol{f'(x)}=g(x^2)2x-g(2x)2\boldsymbol{=2x^{3}e^{x^2}-4xe^{2x}}$

※ 微分をするときは合成関数の微分公式を適用します．

練習問題

練習1

次の関数を微分せよ．

$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x}(x-t)^{2}e^{-t}\,dt$

練習2

正の実数 $x$ に対して，$\displaystyle f(x)=\int_{x}^{2x}t\log t\,dt$ とおく．$f(x)$の最小値を与える $x$ を求めよ．

練習1の解答

　$\displaystyle f(x)$

$\displaystyle =\int_{0}^{x}(x^{2}-2xt+t^{2})e^{-t}\,dt$

$\displaystyle =x^{2}\int_{0}^{x}e^{-t}\,dt-2x\int_{0}^{x}te^{-t}\,dt+\int_{0}^{x}t^{2}e^{-t}\,dt$

　$f'(x)$

$\displaystyle =2x\int_{0}^{x}e^{-t}\,dt+x^{2}e^{-x}-2\int_{0}^{x}te^{-t}\,dt-2x^{2}e^{-x}+x^{2}e^{-x}$

$\displaystyle =2x\int_{0}^{x}e^{-t}\,dt-2\int_{0}^{x}te^{-t}\,dt$ $\cdots$ ①

　$f''(x)$

$\displaystyle =2\int_{0}^{x}e^{-t}\,dt+2xe^{-x}-2xe^{-x}$

$\displaystyle =2\Bigl[-e^{-t}\Bigr]_{0}^{x}$

$\displaystyle =-2e^{-x}+2$

これを不定積分すると

$f'(x)=2e^{-x}+2x+C$

①と上の式に $x=0$ を代入して $f'(0)=0=2+C$ より $C=-2$ なので

$\boldsymbol{f'(x)=2e^{-x}+2x-2}$

※ ①で直接積分する方法でももちろんOKです．

練習2の解答

$\displaystyle g(t)=t\log t$ とおき，原始関数の1つを $G(t)$ とすると

$\displaystyle f(x)=\int_{x}^{2x}g(t)\,dt=G(2x)-G(x)$

両辺微分すると

　$f'(x)$

$=g(2x)2-g(x)$

$=4x\log 2x-x\log x$

$=x\log\dfrac{16x^{4}}{x}$

$=x\log 16x^{3}$


$x$	$0$	$\cdots$	$\dfrac{1}{2^{\frac{4}{3}}}$	$\cdots$
$f'(x)$	$×$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$×$	↘︎		↗︎

$\boldsymbol{x=\dfrac{1}{2^{\frac{4}{3}}}}$ のとき最小をとる．

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