講義

上の解法マニュアルのどのステップを踏めばいいのか※印で説明します．

例題1の解答

(1) $12xy^{3}-27x^{3}y$

$=3xy(4y^{2}-9x^{2})$

$=\boldsymbol{3xy(2y+3x)(2y-3x)}$

※ Ⅰ→Ⅱで公式④．

(2) $6x^{2}+x-1$

$=\boldsymbol{(2x+1)(3x-1)}$

※ Ⅱ．たすきがけをします(下に説明を格納しました)．

たすきがけの手順

(3) $16a^{3}+54b^{3}$

$=2(8a^{3}+27b^{3})$

$=\boldsymbol{2(2a+3b)(4a^{2}-6ab+9b^{2})}$

※Ⅰ→Ⅱで公式⑦．

(4) $x^{2}-2x=A$ とおく．

　$(x^{2}-2x)^{2}-11(x^{2}-2x)+24$

$=A^{2}-11A+24$

$=(A-3)(A-8)$

$=(x^{2}-2x-3)(x^{2}-2x-8)$

$=\boldsymbol{(x-3)(x+1)(x-4)(x+2)}$

※ Ⅲ→公式⑤．慣れると置き換えるのは面倒なので，これ以降は置き換えずに解きますね．

(5) $x(x-1)(x-2)(x-3)-24$

$=x(x-3)(x-1)(x-2)-24$

$=(x^{2}-3x)\{(x^{2}-3x)+2\}-24$

$=(x^{2}-3x)^{2}+2(x^{2}-3x)-24$

$=\{(x^{2}-3x)+6\}\{(x^{2}-3x)-4\}$

$=\boldsymbol{(x^{2}-3x+6)(x-4)(x+1)}$

※ 同じ形 $(x^{2}-3x)$ を見つけるように変形してⅢ→公式⑤．

(6) $a$ は $3$ 次，$b$ は $1$ 次，$c$ は $2$ 次なので，$b$ の $1$ 次式

　　 $b+$ 　　

とみて整理します．

　$a^{3}-a^{2}b-ac^{2}+bc^{2}$

$=\color{red}{(c^{2}-a^{2})b+a(a^{2}-c^{2})}$

$=(c^{2}-a^{2})b-a(c^{2}-a^{2})$

$=(c^{2}-a^{2})(b-a)$

$=\boldsymbol{(c+a)(c-a)(b-a)}$

※ Ⅴ→共通因数でくくって公式④．

(7) $x$，$y$ ともに $2$ 次なので，どちらで整理してもいいですが，$x$ の $2$ 次式

　　 $x^{2}+$ 　　 $x+$ 　　

とみて整理するといいと思います．

　$2x^{2}-5xy-3y^{2}+x+11y-6$

$=\color{red}{2x^{2}+(1-5y)x-3y^{2}+11y-6}$

$=2x^{2}+(1-5y)x-(3y^{2}-11y+6) \ \cdots$ ☆

$=2x^{2}+(1-5y)x-(3y-2)(y-3) \ \cdots$ ♪

$=\{2x+(y-3)\}\{x-(3y-2)\}$

$=\boldsymbol{(2x+y-3)(x-3y+2)}$

※ Ⅴ→☆で最後のカッコをたすきがけ→♪で全体をたすきがけです(下に詳しく説明しました)．

♪でのたすきがけ

(8) $x^{4}+9x^{2}+25$

$=x^{4}+10x^{2}+25-x^{2}$

$=(x^{2}+5)^{2}-x^{2}$

$=(x^{2}+5+x)(x^{2}+5-x)$

$=\boldsymbol{(x^{2}+x+5)(x^{2}-x+5)}$

※ Ⅳです．複2次式の問題は強引に2乗 $-$ 2乗の形に持っていきます．

例題2

(1) 対称式は基本対称式で表せます．

　$a^{3}+b^{3}$

$=\boldsymbol{(a+b)^{3}-3ab(a+b)}$

(2) (1)の式を使います．

　$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$

$=(a+b)^{3}-3ab(a+b)+c^{3}-3abc$

$=(a+b)^{3}+c^{3}-3ab(a+b)-3abc$

$=\{(a+b)+c\}\{(a+b)^{2}-(a+b)c+c^{2}\}-3ab(a+b+c)$

$=\boldsymbol{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)}$