$e$ の定義
微分(数学Ⅲ)(入試の標準) ★★
$e$ の定義は指数・対数関数の微分で，対数関数の微分をするときに登場しました．
このページは $e$ の定義の関連事項を扱います．
$e$ の定義と $e$ がなぜ存在するか
$e$ の定義
ここでは数列の極限値として $e$ を
$\displaystyle \boldsymbol{\lim_{n\to \infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}=e}$
と定義する．$e$ の値は無理数で，$e=2.718281828459045 \cdots$ (鮒一鉢二鉢一鉢二鉢至極美味しい)となることが知られている．
$e$ がなぜ存在するか
$e$ がなぜ( $3$ より小さい値に)存在するか
$e$ がなぜ( $3$ より小さい値に)存在するかに関しては，数列 $a_{n}=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}$ が
① 単調増加数列である( $\boldsymbol{a_{n} < a_{n+1}}$ )
② $\boldsymbol{a_{n} < 3}$
を示せばOKです(上に有界な単調増加数列は収束するという定理が必要なので大学範囲です)．
①の証明
$\displaystyle a_{n}=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}$
$\displaystyle =\sum_{k=0}^{n}$$_{n}{\rm C}_{k}\cdot 1^{n-k}\cdot \left(\dfrac{1}{n}\right)^{k}$ ←二項定理
$\displaystyle =1+\sum_{k=1}^{n}\dfrac{n(n-1)(n-2)\cdots \{n-(k-1)\}}{k!}\left(\dfrac{1}{n}\right)^{k}$
$\displaystyle =1+\sum_{k=1}^{n}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\dfrac{k-1}{n}\right)\dfrac{1}{k!}$
$\displaystyle < 1+\sum_{k=1}^{n}\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)\left(1-\dfrac{2}{n+1}\right)\cdots\left(1-\dfrac{k-1}{n+1}\right)\dfrac{1}{k!}$
$\displaystyle < 1+\sum_{k=1}^{n+1}\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)\left(1-\dfrac{2}{n+1}\right)\cdots\left(1-\dfrac{k-1}{n+1}\right)\dfrac{1}{k!}$
$\displaystyle =a_{n+1}$
②の証明
$\displaystyle a_{n}$
$\displaystyle =1+\sum_{k=1}^{n}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\dfrac{k-1}{n}\right)\dfrac{1}{k!}$
$\displaystyle =1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{\left(1-\dfrac{1}{n}\right)}{2!}+\dfrac{\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right)}{3!}+\cdots+\dfrac{\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\dfrac{n-1}{n}\right)}{n!}$
$\displaystyle < 2+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\cdots+\dfrac{1}{n!}$
$\displaystyle < 2+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\cdots+\dfrac{1}{2^{n-1}}$
$\displaystyle = 2+\dfrac{\dfrac{1}{2}-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}{1-\dfrac{1}{2}}$
$\displaystyle < 2+\dfrac{\dfrac{1}{2}}{1-\dfrac{1}{2}}$
$\displaystyle = 3$
①，②より，数列 $a_{n}=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}$ は $3$ より小さい極限値を持ち，それを $e$ と定義します．
$e$ の定義は他にも表現がありますが，上の定義を出発点として話を厳密に展開します．
ちなみに $e$ の近似値(語呂合わせ)も暗記推奨です．
関数の極限としての $e$
関数の極限値として
$\displaystyle \boldsymbol{\lim_{x\to \infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}=e}$
$\displaystyle \boldsymbol{\lim_{x\to -\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}=e}$
が成り立つ．
$\displaystyle \boldsymbol{\lim_{x\to \infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}=e}$ の証明
自然数 $n$ に対して
$n\leqq x<n+1$
を満たす実数 $x$ が存在する．このとき
$\left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)^{n}<\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}<\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+1}$
が成り立つ．ここで
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)^{n}=\lim_{n\to \infty}\dfrac{\left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{1+\dfrac{1}{n+1}}=\dfrac{e}{1}=e$
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+1}=\lim_{n\to \infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)=e\cdot 1=e$
より，$\displaystyle \lim_{x\to \infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}=e$．
$\displaystyle \boldsymbol{\lim_{x\to -\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}=e}$ の証明
$x=-t$ とおくと
$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}$
$\displaystyle \lim_{t\to \infty}\left(1+\dfrac{1}{-t}\right)^{-t}$
$\displaystyle \lim_{t\to \infty}\left(\dfrac{t-1}{t}\right)^{-t}$
$\displaystyle \lim_{t\to \infty}\left(\dfrac{t}{t-1}\right)^{t}$
$\displaystyle \lim_{t\to \infty}\left(1+\dfrac{1}{t-1}\right)^{t}$
$\displaystyle \lim_{t\to \infty}\left(1+\dfrac{1}{t-1}\right)^{t-1}\left(1+\dfrac{1}{t-1}\right)$
$=e\cdot1=e$
また，指数・対数関数の微分で登場した式も次のように導けます．
他の表現の $e$
$e$ の定義から
$\displaystyle \boldsymbol{\lim_{t\to 0}\left(1+t\right)^{\frac{1}{t}}=e}$
$\displaystyle \boldsymbol{\lim_{h\to 0}\dfrac{e^{h}-1}{h}=1}$
が成り立つ．教科書や参考書，サイトによってはこれを $e$ の定義とすることもある．
$\displaystyle \lim_{t\to 0}\left(1+t\right)^{\frac{1}{t}}=e$ の証明
$\displaystyle \lim_{t\to +0}\left(1+t\right)^{\frac{1}{t}}$
$\displaystyle =\lim_{x\to \infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}$ ← $t=\dfrac{1}{x}$
$\displaystyle =e$
また
$\displaystyle \lim_{t\to -0}\left(1+t\right)^{\frac{1}{t}}$
$\displaystyle =\lim_{x\to -\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}$ ← $t=\dfrac{1}{x}$
$\displaystyle =e$
以上より
$\displaystyle \lim_{t\to 0}\left(1+t\right)^{\frac{1}{t}}=e$
$\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{e^{h}-1}{h}=1$ の証明
$\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{e^{h}-1}{h}$
$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{t}{\log_{e}(1+t)}$
$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{1}{\log_{e}(1+t)^{\frac{1}{t}}}$
$=\dfrac{1}{\log_{e}e}=1$
例題と練習問題
例題
例題
次の極限値を求めよ．
(1) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(1+3x\right)^{\frac{2}{x}}$
(2) $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\dfrac{2n-1}{2n}\right)^{5n}$
講義
$\displaystyle \lim_{\color{red}{□}\to 0}\left(1+\color{red}{□}\right)^{\frac{1}{\color{red}{□}}}=e$
上の形が使えるよう強引に変形します．
解答
(1)
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(1+3x\right)^{\frac{2}{x}}$
$=\displaystyle \lim_{t\to 0}\left(1+t\right)^{\frac{6}{t}}$ ← $t=3x$
$=\displaystyle \lim_{t\to 0}\left\{\left(1+t\right)^{\frac{1}{t}}\right\}^{6}$
$=\boldsymbol{e^{6}}$
(2)
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\dfrac{2n-1}{2n}\right)^{5n}$
$=\displaystyle \lim_{t\to -0}\left(1+t\right)^{-\frac{5}{2t}}$ ← $t=-\dfrac{1}{2n}$
$=\displaystyle \lim_{t\to -0}\left\{\left(1+t\right)^{\frac{1}{t}}\right\}^{-\frac{5}{2}}$
$=\boldsymbol{e^{-\frac{5}{2}}}$
練習問題
練習
次の極限値を求めよ．
(1) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(1+5x\right)^{-\frac{1}{x}}$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\left(\dfrac{x^{2}+2x-3}{x^{2}}\right)^{2x+1}$
練習の解答
(1)
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(1+5x\right)^{-\frac{1}{x}}$
$=\displaystyle \lim_{t\to 0}\left(1+t\right)^{\frac{-5}{t}}$ ← $t=5x$
$=\displaystyle \lim_{t\to 0}\left\{\left(1+t\right)^{\frac{1}{t}}\right\}^{-5}$
$=\boldsymbol{e^{-5}}$
(2)
$\displaystyle \lim_{x\to \infty}\left(\dfrac{x^{2}+2x-3}{x^{2}}\right)^{2x+1}$
$=\displaystyle \lim_{x\to \infty}\left(\dfrac{x+3}{x}\cdot\dfrac{x-1}{x}\right)^{2x+1}$
$=\displaystyle \lim_{x\to \infty}\left(\dfrac{x+3}{x}\right)^{2x}\left(\dfrac{x-1}{x}\right)^{2x}\left(\dfrac{x+3}{x}\right)\left(\dfrac{x-1}{x}\right)$
$=\displaystyle \lim_{x\to \infty}\left\{\left(1+\dfrac{3}{x}\right)^{\frac{1}{\frac{3}{x}}}\right\}^{6}\left\{\left(1+\dfrac{-1}{x}\right)^{\frac{1}{\frac{-1}{x}}}\right\}^{-2}\left(1+\dfrac{3}{x}\right)\left(1+\dfrac{-1}{x}\right)$
$=e^{6}\cdot e^{-2}\cdot 1\cdot1$
$=\boldsymbol{e^{4}}$